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標題: 請問矩陣的特徵值和特徵向量是做什麼用的? [打印本頁]

作者: bed321654987 時間: 2017-8-24 11:11 AM 標題: 請問矩陣的特徵值和特徵向量是做什麼用的?

最近學校工數教到如何算矩陣的特徵值和特徵向量
算法是知道了，應該說背起來了
但是老師沒有說明這個特徵值和特徵向量是做什麼用的
所以請問矩陣的特徵值和特徵向量一般都是應用在哪個部分?
訊號處理嗎? 學校只教算法感覺是應付考試用的，但我很想知道詳細是用在哪一部分(看起來對解聯立方程式也沒什麼幫助)，我也只知道不同特徵值所屬的特徵向量是相互垂直的，真的不知道有何作用
希望各為大大幫小弟解惑，感謝

作者: u06m4rmp4 時間: 2017-8-24 03:00 PM

有某一個矩陣A對應一線性變換其作用於一特定向量上可使其變為該向量的常數倍
我們稱此向量為矩陣A的特徵向量該常數倍為矩陣A的特徵值
一個特徵向量對應一個特徵值

應用滿多的
例如
1.座標轉換就是一種線性變換在處理圓錐曲線的問題時你可以將其旋轉一個角度變成圓錐曲線標準式解決你的問題之後在轉回去

2.解線性微分方程本身就是一個特徵值問題其解為特徵向量這些特徵向量構成一組完整的正交基底完整的解即由這些特徵向量的線性疊加而成

3.解聯立線性微分方程也可將其特徵矩陣對角化使其化簡成兩個獨立的線性微分方程
方便計算最後再將答案線性變換回去

還有很多應用這些我比較知道而已要看你是啥科系我再補充比較相關的

作者: joebin 時間: 2017-8-26 11:55 AM

本帖最後由 joebin 於 2017-8-26 11:56 AM 編輯

矩陣的特徵值所構築成的矩陣(D)代表的是該矩陣的大小
特徵向量所構築成的矩陣(S)代表的是該矩陣旋轉

特徵值的求法是透過 |A - λI| = 0，λ意旨A的各維度大小
像是A = SDS'，SS' = I中，D是對角矩陣
　　　「 λ1  0 0  丅
D = 　｜ 0  λ2  0 | ，我們會發現 det(A) = det(D)
　　　 ∟ 0 0  λ3  」
這意思代表的是A可以從D這基礎矩陣去做旋轉

特徵向量的求法是(A - λI)x = 0，由於|A - λI| = 0
代表A把自己的大小都剪掉了，因此(A - λI) 可以說是一個零矩陣
(A - λI)x 中的x是為了讓零矩陣每一個element都變0而做的旋轉
所以特徵向量所組成的矩陣S是A的旋轉矩陣，為了讓旋轉不影響其大小
因此會有SS' = I中的S'出現

作者: zola6444 時間: 2017-10-19 04:27 PM

這要有實際的應用，你才能瞭解特徵值的意義。
聯立線性微分方程式，可以用矩陣的形式來表示。這種聯立線性微分方程式稱為「狀態方程式」，都是一階的微分方程式，如果有二階、三階…或更高階，就可增加狀態變數的個數來降階，就是都要降成一階，這樣才能應用矩陣來表示。這個矩陣含有這個系統的特性，它的特徵值，就是這個系統的共振頻率。這裡所講的「頻率」是廣義的，也就是它可能是複數。實數頻率代表一種衰減的速度，虛數頻率就是一般的「振盪」。

你能問這個問題已經不容易了，很多人雖然會求特徵值，但根本不知特徵值的意義。特徵值的翻譯本身就不好，eigenvalue翻譯成特徵值無法顯示它有什麼意義，應該稱為「固有值」才恰當。

任何一個(線性)系統的響應都有兩個成份，一個是受外力(或外加電壓、電流、熱力)而產生的響應，稱為激勵響應，其頻率受外力的影響。另一個成份則是系統本身的自然響應，其頻率是系統固有的，不受外力影響。特徵值就代表了這個固有的「自然頻率」。

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